勾股定理的10种证明方法常见勾股定理证明方法(勾股定理证明方法大全简单)

2023-05-07 16:48:09  阅读 113 次 评论 0 条

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勾股定理的证明方法(10种以上)

【证法1】(课本的证明)

做8个全等的银卖直角三角形,设它们的御搏谈两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即

, 整理得 .

【证法2】(邹元治证明)

以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90?,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90?.

∴ ∠HEF = 180?―90?= 90?.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90?,

∴ ∠EHA + ∠GHD = 90?.

又∵ ∠GHE = 90?,

∴ ∠DHA = 90?+ 90?= 180?.

∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形,它镇碰的面积等于 .

∴ . ∴ .

勾股定理的证明方法有哪些?

勾股定理的证明方法最简单的6种如下:

一、正方形面积法

这是一种很常见的证明方法,具体使用的是面积来证明的。以三角形的三边分别作三个正方形,发现两个较小的正方形面积之和等于较大的那个三角形。勾股定理得到证明。

二、赵爽弦图

赵爽弦图是指用四个斜边长为c,较长直角边为a,较短直角边为c的指教三角形组成一个正方形。在这个较大的正方形里还有一个较小的正方形。通过计算整体的面积算出勾股定理。

三、梯形证明法

梯形证明法也是一种很好的证明方法。即选两个一样的直角三角形一个横放纳碧辩,一个竖放,将高处的两个点相连。计算梯形的面积等于三个三角形的慧哪面积分别相加,从而证明勾股定理。

四、青出朱入图

青出朱入图是我国古代数学家刘徽提出的一种证明勾股定理的方法,是使用割补的方法进行的。就是将两个大小不等的正方形边长分别为a,b,然后通过割补的方法将它们拼成一个较大的正方形。

五、毕达哥拉斯证明

毕达哥拉斯的证明方法,也是证明面积相等,蛋是才去的方法是对三角形进行了移动。比如将原来的四个分散在四周的三角形,两两相组合,洞缺发现两个正方形的面积和两个长方形的面积相等。

六、三角形相似证明

利用三角形的相似性来证明勾股定理。就是将三角形从直角边作垂线,这单个三角形相似。以三边分别作正方形,因为边成比例,所以面积也具有成比例的关系。

勾股定理的证明方法

勾股定理的证明方法如下:

求证:勾股定理,即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

证明:分两种情况来讨论,即两条直角边长度不相等与相等。

两条直角边长度不相等。

如图,分别设直角三角形渣丛的边长为a、b、c,(ab,c为斜改仔边)。

将四个同样大小的三角形拼成右图形式,则:

则右图大正方形的面积为四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和。

得:c^2=4*(ab/2)+(b-a)^2=2ab+a^2+b^2-2ab=a^2+b^2

即a^2+b^2=c^2,原命题得证。

2.  两条直角边长度相等。

如图,分别设直角三角形的直角边与斜边长为a、c。

将四个同样大小的三角形拼成右图形式,则:

则右图正方形的面积为四个直角三角形的面积之和。

得:c^2=4*(aa/2)=2a^2=a^2+a^2

即a^2+a^2=c^2,原命如歼樱题得证。

所以,直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的证明方法!

1、赵爽弦图

《九章算术》中,赵爽描述此图:勾股各自乘,并之为玄实。开方除之,即玄。案玄图有可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦成玄实。以差实减玄实,半其余。

2、加菲尔德证法

加菲尔德在证出此结论5年后,成为美国第20任总统,所以人们又称其为“总统证法”。

3、加菲尔德轮迅证法变式

该证明为加菲尔德证法的变式。

如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开,则回到了加菲尔德证法。相反,若将上图中两个梯形拼在一起,就变为了此证明方法。

4、青朱出入图

青朱出入图,是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法,特色鲜明、通俗易懂。

5、欧几里得证法

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点画一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。

公元前十一世纪,数学家商高(西周初年人)就提出“勾三、股四、弦五”。编写于公元前一世纪以前的《周髀算经》中记录着商高与周公的一段对话。

商高说:“……故折矩,勾广三,股修四,经隅五。”意为:当直角三角形的两条直角边分别为3(勾)和4(股)时,径隅(弦)则为5。以后人们就简单地把这个事腊喊此实说成“勾三股四弦五”,根据该典故称勾股定理为商高定理。

公元三世纪,三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,记录于《九章算术》中“勾股各自乘,并而开方除之,即弦”,赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结渗镇合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。

在中国清朝末年,数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。

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